２０２３年一橋大数学解答速報！ | Star Brain Academy｜勉強を青春に。チームで合格を目指すならスターブレイン

こんにちは。スターブレインの堀です。

２０２３年２月２５日に実施された一橋大数学の解答速報をお届けします。

一橋大は５題１２０分です。例年、第１問は整数問題、第５問は確率と決まっています（例外的な年度も少しだけありましたが）。また、第２問～第４問はテーマこそ決まっていませんが、座標平面（微積分含む）、ベクトル（特に空間）、数列がほとんどです。本年はこの傾向通りの出題でした。比較的難易度の差がはっきりしていることが多いのですが、本年はどれもさほど難易度に差があるようには感じませんでした。それにしても文系としては最も難しい問題を出題する大学のひとつです。

全範囲から満遍なく基礎～応用までを問う

というのが一橋大数学の特徴ていえます。難易度は昨年並みでしょう。

第１問　整数の性質（数学Ａ）やや易

お決まりの不定方程式の整数解を求める問題です。まず、C(コンビネーション)が意味深な形で与えられています。ちょっと考えてみて、場合の数的な意味がないか探ってみるべきですし、私もちょっと考えてみましたが分かりません。ですので、Cを！に書き直して式を整理していきます。すると、mとnの２次式になります。２次の不定方程式ときたら平方完成です。一方の文字について平方完成すれば、ある特定の範囲にある平方数を数え上げればよいことに気づけるはずです。

第２問　微分法、２次方程式（数学Ⅱ、数学Ⅰ）　標準

これまた一橋大の好きな「存在条件」の問題です。共通接線は図形の種類に応じて処理を変えます。今回は３次関数と２次関数なので「３次関数で接点を文字設定し接線公式を立て、２次関数と連立して判別式＝０」がよいと思います。途中の計算がちょっと多いので丁寧にいきましょう。後半は複２次式の解配置問題になります。おきかえて、２次方程式の解配置問題に言い換えます。このとき、正しく題意を言い換えられているかに注意をするようにしましょう。幸い、軸の位置が正の部分にあるので面倒な場合分けは不要です。

第３問　空間座標（数学Ｂ）やや易

空間座標内にある四面体の体積の最大値を求める問題です。このような「図形量の最大最小」は必ずと言っていいほど出題されるテーマです。特に、東工大の解答速報でも書いたのですが、図形的考察をちょっとだけしないといけない問題が一橋大（に限らず難関大は）大好きなようです。本問も点Ｐの動く範囲が球面であるため、体積が最大⇔高さが最大となる点は図形的に求めることが可能です。さらに、実は底面である△ＯＡＢはxy平面上にあることにも気づかないと無駄な計算をすることになります。このように

数式の世界と図形の世界を自由に行き来できるようにする

ことが一橋大攻略のコツです。

第４問　数列（数学Ｂ）やや難

群数列の問題です。たまに見るタイプの並び方（斜めに配置されていくタイプ）なので類題をやったことがある人も多かったかもしれません。そうすると、実は f(m，n)は比較的容易にm，nの式で表すことができるので，その方向で考えていった人も多かったかもしれません。しかし、実はそれは一橋大が作った「数学を暗記しようとしている受験生への罠」（と私が思っているだけ？）なのです。私もちょっとはまりかけて「あれ？また整数問題？」と思ってしまいました。（１）はそれでも解決することができますが、（２）は大問１の整数問題とほぼ同じ状況（２次の不定方程式）になります。ところが、２０２３がちょっと大きいため、シラミつぶすには現実的でない大きさの数値が表れてしまいます。そこで、気を取り直して数列としてしっかり式の意味を考えることで、あくまで群数列の問題として解き切ることができます。そのような本質をつかむ部分が難しいという意味で「やや難」としましたが、現実的には「なんとかしてゴリ押しで求めよう」とした人が多くいたはずで、実際には平均点は低くないと予想しています。

第５問　確率／数列（数学Ａ／数学Ｂ）標準

確率は漸化式ならラッキー、そうでないならちょっと警戒というのが難関大での判断基準のように思います。さて、本問はよく勉強をした人の方が勘違いをしやすいタイプの問題かもしれません。問題文の「全員がn回ずつ投げ終えたらゲームを終了する」という条件を見落とすと、「あ，これは最初の１回で分けるタイプの確率漸化式の問題だ！」と思った受験生も多かったことでしょう。確かに、「だれかが勝つまでさいころを投げ続ける」というのであれば「最初の１回の結果で場合分けをして漸化式を立てる」が正解です。しかし、その方法で正解に至るのはかなり厳しいでしょう。やってみるとわかりますが、３個飛びの漸化式が発生してしまい、大変な場合分けが発生します。むしろ「最大３n回まで投げられる」と考えてＡが何回目に１を出すかに注目してしまえば、単なるΣ計算であることがわかります。最初からそれに気づいた人にとっては簡単な問題だったはずです。ただ、よく似た問題で別の手法がスタンダードであったため、方針で右往左往した人も多かったでしょう。